Задачи с решениями

Построим четырехугольник ABCD.

Построим четырехугольник MNPQ, вершины которого являются серединами диагоналей и сторон BC и AD четырехугольника ABCD.

Луч DC пересекает прямую AB в точке T, причем DTA = 90°, т.к. TAD + TDA = 90° по условию.

MN – средняя линия треугольника BCD, PQ – средняя линия треугольника ACD. Поэтому   и MN || QP. Значит, MNPQ – параллелограмм. Легко заметить также, что   Но AB = CD, поэтому MQ = NP = MN = QP и MNPQ – ромб. Углы QMN и ATD имеют соответственно параллельные стороны, и поскольку ATD = 90°, то и QMN = 90°. Таким образом, четырехугольник MNPQ – это ромб с прямым углом или (что тоже) квадрат.