Задачи с решениями

Используя векторы, доказать, что в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Пусть дан треугольник ABC и его медианы AD и BE персекаются в точке O. В соответсвии с задачей 8 Но точка O лежит на отрезок

Аналогично,    Отсюда С учетом ранее полученного выражения для имеем равенство или Но и не коллинеарны и равенство возможно лишь при при одновременном выполнении равенств Отсюда и, следовательно, и Заменив в рассуждениях медиану BE медианой CF мы снова получим, что эти медианы пересекаются в той точке отрезка AD, которая удалена от точки A на расстояние 2 / 3 от вершины A т. е. в точке O. Таким образом все три медианы пересекаются в одной точке O и при этом   и

11 из 25