Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 3. Дифференцирование и интегрирование функций

3.2. Исследование функций при помощи производных

Назад Вперед
Назад Вперед

3.2.2. Экстремумы

Напомним, что в точке x0 функция достигает экстремума, если для любых x из некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0) (минимум) или f (x) ≥ f (x0) (максимум).

Теорема Ферма. Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 и достигает в ней экстремума, то

График 3.2.2.1.
Теорема Ферма: касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс

Необходимое условие экстремума. Во всех точках экстремума производная функции не существует или равна нулю.

Обратное, вообще говоря, неверно. Так, точка x = 0 функции y = x3 не является ни максимумом, ни минимумом.

Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками. Таким образом, все экстремумы являются критическими точками

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ab], принимает в концах этого отрезка равные значения и дифференцируема на интервале (ab), то существует хотя бы одна точка такая, что

В частности, между двумя нулями дифференцируемой функции обязательно лежит хотя бы один нуль ее производной.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [ab] и дифференцируема на интервале (ab), то существует хотя бы одна точка такая, что

Модель 3.6. Теорема Лагранжа

Это соотношение называется формулой конечных приращений Лагранжа. Воспользовавшись ей, легко доказать, что если производная функции на отрезке [ab] равна 0, то эта функция постоянна на этом отрезке. Если производная функции f на отрезке [ab] равна k, то f – линейная функция.

Если в точке x0 функции f и g равны, а производные этих функций, если они существуют, удовлетворяют на некотором отрезке [x0x1] соотношению f ′ (x) > g′ (x), то в каждой точке промежутка (x0x1]  f (x) > g (x).

Достаточные условия экстремума.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может, самой этой точки, и непрерывна в точке x0. Если производная функции меняет знак с минуса на плюс при переходе через эту точку слева направо, то x0 – точка минимума. Если производная функции меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку слева направо, то x0 – точка максимума.

Пусть – стационарная точка функции f (x), и существует Если то – точка минимума; если то – точка максимума функции f (x).

 

Так, производная функции f (x) = |x| равна –1 при отрицательных x и +1 при положительных x. Функция |x| достигает в точке x0 = 0 своего минимума.

В точке x0 = 0 первая производная функции f (x) = –x2 равна f ′ (x0) = –2x0 = 0, а вторая производная f ′′ (x0) = (–2x)′ = –2 < 0. Функция x2 + 3 достигает в точке x0 = 0 своего максимума.

График 3.2.2.2.
Достаточные условия экстремума
График 3.2.2.3.
Достаточные условия экстремума

Заметим, что в точке x = 0 функции y = x4 вторая производная f ′′ (x0) = 0, однако эта точка является точкой минимума. Можно доказать, что если f ′ (x0) = f ′′ (x0) =... = f (2n – 1) (x0) = 0 и f (2n) (x0) > 0 (f (2n) (x0) < 0), то точка x0 является точкой минимума (соответственно, максимума).


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по физике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

магазин кормов для кошек на сайте
sunzoo.ru
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.