Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного:
б) Обратные тригонометрические функции.
Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке
обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x:
или
(на интервале
Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем:
в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию y = ax. Для нее
Но
(это можно доказать, пользуясь определением числа e). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то
В частности,
Это и обуславливает частое использование основания e в математике и физике. В некоторых учебниках экспоненциальная функция даже вводится как функция, определенная на всей числовой оси, для которой f' (x) = f (x) и f (0) = 1.
Но
(еще одно следствие замечательного предела
).
Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то