Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.5. Графические методы решения задач

Назад Вперед
Назад Вперед

2.5.3. Решение систем уравнений и неравенств

Уравнение g (xy) = 0 задает на координатной плоскости некоторую кривую, каждая точка M (xy) которой удовлетворяет этому уравнению.

Некоторые кривые являются графиками функций y = f (x), что означает равносильность уравнений g (xy) = 0 и y = f (x). К таковым, например, относится кривая, задаваемая уравнениями x + y – 1 = 0 или y – x2 = 0. Другим не соответствуют никакие функции, например,   (в данном случае каждому значению соответствуют два значения y).

График 2.5.3.1.
Окружность с центром в точке (-2; 1).
График 2.5.3.2.
Гипербола, задаваемая уравнением x2 – y2 = 1.

Уравнением окружности с центром в точке (ab) и радиусом r > 0 является
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.

Уравнение (x – a)2 + (y – b)2 = 0 задает точку с координатами (ab), уравнение x2 – y2 = a2 – гиперболу.

Уравнение вида
f (xy) · g (xy) = 0
задает на плоскости объединение линий f (xy) = 0 и g (xy) = 0. Каждая точка этой фигуры является решением совокупности уравнений

Модель 2.21. Система уравнений с двумя переменными

Пусть задана система уравнений Ее решением является совокупность пар чисел (xiyi), подстановка которых в каждое из уравнений превращает его в верное равенство. Построим на координатной плоскости кривые, задаваемые уравнениями f (xy) = 0 и g (xy) = 0. Тогда можно сказать, что геометрически решением системы уравнений является совокупность всех точек Mi (xiyi), в которых пересекаются кривые, задаваемые этими уравнениями.

Если кривые не пересекаются, то система уравнений решений не имеет. В этом случае говорят, что система несовместна.

Систему геометрически можно представить как совокупность точек, в которых пересекаются три кривые f (xy) = 0, g (xy) = 0 и h (xy) = 0. Если не существует точки, в которой пересекаются все три кривые, то система также несовместна.

Аналогичным образом уравнение f (xyz) = 0 задает поверхность в трехмерной декартовой системе координат. Геометрически решением системы уравнений будет совокупность координат точек Mi (xiyizi), в которых пересекаются поверхности, задаваемые этими уравнениями.

Так, уравнения x2 + y2 + z2 = 1, y = 0, z = 0 задают в пространстве сферу единичного радиуса с центром в начале координат и две координатные плоскости, перпендикулярные соответственно оси ординат и оси аппликат. Плоскость z = 0 пересекает сферу по окружности x2 + y2 = 1, лежащей в плоскости z = 0. Плоскость y = 0 пересекает эту окружность в двух точках с координатами M1 (–1; 0; 0) и M2 (1; 0; 0). Таким образом, решением системы уравнений являются две тройки чисел (±1; 0; 0).

График 2.5.3.3.
Иногда при решении задач графики могут ввести в заблуждение. Так, на эскизе кажется, что графики функций y = (1/16)x и y = log1/16 x пересекаются только в одной точке, лежащей на биссектрисе первого координатного угла. И только при более внимательном рассмотрении у уравнения (1/16)x = log1/16 x находятся еще два корня x = 1/2 и x = 1/4. Увеличьте масштаб графика, чтобы убедиться в этом

Кривая f (xy) = 0 делит координатную плоскость на несколько областей, внутри каждой из которых функция f сохраняет знак. Для решения неравенства
f (xy) > 0
графическим методом необходимо в каждой из таких областей взять пробную точку и вычислить ее знак, после чего отобрать области, в которых функция f принимает положительные значения. Присоединяя к полученному решению саму кривую, получим решение неравенства
f (xy) ≥ 0.

Чтобы решить графически систему нужно изобразить на координатной плоскости решения каждого из неравенств f (xy) > 0, g (xy) > 0, а затем найти их пересечение. Аналогичным образом поступают, если неравенств больше двух.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по физике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Эвакуатор дешево
Дешевые эвакуаторы. Продажа техники. Сравните цены и выберите дешевле
evacuate24.com
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.