Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.4. Другие элементарные функции

Назад Вперед
Назад Вперед

2.4.5. Гиперболические функции

Функция
называется гиперболическим синусом. Функция
называется гиперболическим косинусом.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.


Эти функции определены и непрерывны на всей числовой оси. Гиперболический синус является нечетной функцией, возрастающей на всей числовой оси. Гиперболический косинус является четной функцией, убывающей на промежутке (–∞; 0) и возрастающей на промежутке (0; +∞). Точка (0; 1) является минимумом этой функции.

График 2.4.5.1.
Графики функций y = sh x и y = ch x.

По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс:
 

Тангенс определен на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 (). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные асимптоты y = –1 (при x → –∞) и y = 1 (при x → +∞).

График 2.4.5.2.
Графики функций y = th x и y = сth x.

Приведем некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh x + ch x = ex
ch2 x – sh2 x = 1
ch 2x = ch2 x + sh2 x
sh 2x = 2 sh x ch x
sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y
ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch x при x ≤ 0 и arch+ x при x ≥ 0.

График 2.4.5.3.
Графики функций y = arsh x и y = arth x.
График 2.4.5.4.
Графики функции y = arch x и y = arch+ x.


В заключение приведем формулы для обратных гиперболических функций:
 
 |x| < 1,
 x ≥ 1,
 x ≥ 1.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по физике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Дробильные установки
В продаже - дробильная установка, цены ниже! Неликвидные остатки
rudgor21.ru
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.