Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн




Глава 1. Теоретические сведения о функциях

1.1. Числовые последовательности

Назад Вперед
Назад Вперед

1.1.4. Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {bn}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией:


bn + 1 = bn · q.

Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как   то  Верна и обратная теорема.

Последовательность {bn} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение
где при всех n. Тем не менее, важно понимать, что формула справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии {bn} определяется формулой
bn = b1 · qn – 1.

Доказательство

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем bk + 1 = bk · q = b1 · qk – 1 · q = b1 · qk. Теорема доказана.

Модель 1.2. Банковский счет

Сумма n первых членов геометрической прогрессии {bn} равна
при q ≠ 1 и Sn = n · b1 при q = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.

При |q| < 1, поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число
,
где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна

Для доказательства достаточно заметить, что В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.

Модель 1.3. Ахиллес и черепаха

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн

    Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География язык, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.
ПоискОткрытый Колледж