Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 4. Комбинаторика

4.3.

Назад Вперед
Назад Вперед

4.3.6.

Пусть случайная величина принимает дискретные значения. К таким величинам, например, относятся количество очков при бросании кубика или количество угаданных номеров в лотерее «Спортлото». Вспомним, что закон распределения случайной величины образуют множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Законы распределения могут быть вычислены исходя из логики процесса или измерены, если у нас есть достаточно большая статистическая выборка. Но для некоторых часто встречающихся типов процессов можно не выводить распределение, а использовать стандартное похожее. Рассмотрим наиболее известные из них.

1. Геометрическое распределение

Будем бросать кубик до тех пор, пока не выпадет 1. Посчитаем, с какой вероятностью это случится ровно за N бросков.

Для первого броска (N = 1), очевидно, вероятность успеха p (1) = 1/6.

Для второго (N = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом:

Аналогично, для третьего броска

Вообще, для n-го броска где p – вероятность успеха в единичном испытании.

 

Закон распределения
где p – вероятность успеха в единичном испытании, называется геометрическим.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения:

В нашем примере означает, что, в среднем, за шесть бросков 1 очко выпадет ровно 1 раз.

1
Рисунок 4.3.6.1.
Геометрическое распределение при различных p и n
Пример 1

Ролик кодового замка содержит N возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. С какой вероятностью его можно открыть точно с k-го раза?

Показать решение

2. Биномиальное распределение, часто возникающее в случайных процессах, можно получить так. Бросаем монету N раз и считаем вероятность того, что k раз из N выпала решка (будем обозначать это событие буквой P, а противоложное ему – выпадение герба – буквой О). Подумаем, какие распределения в этом случае можно считать равновероятными. Допустим, мы кинули монету три раза, при этом могли возникнуть такие комбинации:

    ООО;
    ООР; ОРО; РОО;
    ОРР; РРО; РОР;
    РРР.

Эти комбинации равновероятны.

Видно, что вероятность того, что событие «Р» наступит k раз из N, равна произведению:

Таким образом,

Распределение, описываемое формулой
называется биномиальным.

 

Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, определяется формулой

Математическое ожидание такого распределения легко посчитать из простых соображений. Поскольку результаты бросков кубика независимы, мы можем представить N бросков как N повторений одного броска. Напомним, что для N бросков где – число успехов, а – вероятность того, что произойдет k успехов. Тогда математическое ожидание и дисперсия суммы испытаний равны сумме математических ожиданий и дисперсий одиночных событий:
M = N p,

D = N p (1 – p).

2
Рисунок 4.3.6.2.
Биномиальное распределение при различных параметрах
Пример 2

Сосуд с N молекулами идеального газа мысленно разделён на две части, V1 и V2. Найти вероятность того, что в объёме V1 будет содержаться N1, а в объёме V2 будет содержаться N2 молекул.

Показать решение

Пример 3

Из пункта A по сети дорог идёт группа из N человек. На каждом перекрёстке, начиная с A, пришедшие туда люди с равной вероятностью поворачивают в направлении l и в направлении m. Сколько человек придёт в пункты B, C, D, …, I соответственно?

3
Рисунок 4.3.6.3
Показать решение

Биномиальное распределение связано с задачами о случайных блужданиях и перемешиваниях.

Пример 4

Пьяница случайным образом делает шаг вперёд или назад. Оцените, за какое количество шагов ему удастся добраться до дома, находящегося на расстоянии l от начала пути, при длине шага d?

Показать решение

Задача о пьянице, в свою очередь, отсылает нас к важному классу задач о диффузии и случайному перемешиванию сыпучих тел. Для каждого реального процесса распределение вероятностей выводится отдельно, но биномиальное распределение используется очень часто. Что будет, если увеличить количество испытаний N и шагать в одну сторону с очень маленькой вероятностью p, а в другую – с вероятностью, близкой к единице? Например, предположим, что Np → λ. При этих предположениях биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.

3. Распределение Пуассона имеет следующую плотность вероятности:


Доказательство
 

Величина pk (λ) соответствует вероятности ровно k удачных исходов при условии, что среднее число удачных исходов составляет λ.

Этим распределением проще пользоваться, чем биномиальным. Параметр λ (напомним, что он определяется пределом Np → λ) здесь равен числу, которое соответствует математическому ожиданию величины x:
Mx = λ,

Dx = λ.

5
Рисунок 4.3.6.5.
Распределение Пуассона при различных λ и n
 

Закон Пуассона действует всякий раз, когда имеется много независимых испытаний N, а вероятность p каждого испытания так мала, что среднее число событий λ = pN с данным исходом невелико.

Пример 5

В супе объёмом V плавает N перчинок. С какой вероятностью в ложку объёмом V0 попадёт ровно n перчинок?

Показать решение

Распределением Пуассона описываются процессы типа количества телефонных вызовов за время t, вероятности аварий, оно же используется в теории страхования.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Знакомства с иностранцами
Знакомства с немцами. Работаем до результата
meets.com
Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.