Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 4. Комбинаторика

4.3.

Назад Вперед
Назад Вперед

4.3.2.

Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий. Рассмотрим различные события на примере бросков игрального кубика – A. Будем обозначать тот факт, что на кубике выпало некоторое число от 1 до 6, буквой A с индексом, обозначающим выпавшее число. Так, A3 обозначает, что при броске кубика A выпало число 3.

Если бросать одновременно два кубика A и B, то событием будет пара чисел (ab), выпавших на кубиках A и B соответственно. Обозначим это событие AaBb. Например, A1B5 означает, что мы бросили два кубика одновременно, на кубике A выпало 1, а на B выпало 5.

Пример 1

К каким классам событий (возможное, невозможное, достоверное) относятся: а) расстояние между двумя произвольными городами меньше, чем 50 тысяч километров; б) наугад выбранное слово русского языка заканчивается буквами «нзо»; в) Вася выиграет в лотерее?

Показать решение

Пример 2

Укажите события, противоположные данным: а) на кубике выпало 1; б) Света получила на экзамене «5»; в) после ночи наступает утро?

Показать решение

Пример 3

Совместны ли события: а) на первом кубике выпало 1, а на втором – 2; б) Юра пошёл в школу, а завтра будет дождь; в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.

Показать решение

Пример 4

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. (Пример взят из книги Г. Секея «Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике».) Тогда события ABC попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p (AC) = 1/4 = p(Ap(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Теперь, ознакомившись с языком теории вероятностей, мы можем дать более строгое определение вероятности и выписать основные её свойства.

Вероятностью события p(A) называется некоторая действительная функция, определённая на классе возможных событий E и удовлетворяющая следующим трём аксиомам, сформулированным А. Н. Колмогоровым.

  1. Аксиома неотрицательности. Для любого A из E вероятность p (A) ≥ 0.
  2. Аксиома нормированности. Вероятность достоверного события p (I) = 1.
  3. Аксиома аддитивности. Для любой (конечной или бесконечной) последовательности попарно несовместных событий ABC вероятность их суммы p (A + B + C + …) = p (A) + p (B) + p (C) + …

Из перечисленных аксиом можно вывести следующие свойства вероятностей.

  • Для любого A из E верно: 1 ≥ p (A) ≥ 0. В частности, вероятность невозможного события p (O) = 0.
  • Если событие A влечёт за собой событие B, то p(A) <  p(B).
  • Вероятность события A и вероятность противоположного события связаны соотношением
  • p (A + B) = p (A) + p (B) – p (AB). Для несовместных событий p (A + B) = p (A) + p (B).
  • p (AB) = p (B | A) · p (A).

 

Пример 5

Пассажир ждёт трамвая № 2 или № 7 возле остановки, на которой останавливаются трамваи № 2, № 5, № 7 и № 24. Считая, что трамваи всех маршрутов появляются случайным образом (не по расписанию) одинаково часто, найдите вероятность того, что первый подошедший к остановке трамвай будет нужного пассажиру маршрута.

Показать решение

Пример 6
1

Пусть для некоторого стрелка вероятность попадания в область 1 мишени, изображённой на рисунке, равна 0,25, а вероятность попадания в область 2 – 0,15. Какова вероятность того, что стрелок попадёт либо в область 1, либо в область 2?

Показать решение


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.