Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн




Глава 4. Комбинаторика

4.2.

Назад Вперед
Назад Вперед

4.2.3.

Допустим теперь, что нас не интересует порядок, в котором идут выбранные элементы. Например, нужно из десяти человек выбрать троих дежурных. Такая операция называется неупорядоченной выборкой, или сочетанием, в отличие от упорядоченной выборки – размещений.

 

Всякая неупорядоченная выборка объёма k из множества, состоящего из n элементов, (k ≤ n) называется сочетанием из n элементов по k. Количество сочетаний обозначается и вычисляется по формуле

Символ читается «це из эн по ка».

Формулу для можно получить из следующих соображений.

Из любого набора, содержащего k элементов, можно получить k! перестановок. Поэтому упорядоченных выборок объёма k существует
штук. Значит,

Модель 4.4. Сочетания
Пример 1

Для проведения письменного экзамена нужно составить 3 варианта по 5 задач в каждом. Сколькими способами можно разбить 15 задач на 3 варианта?

Показать решение

Пример 2

Сколькими способами можно разместить 10 различных шаров по 4 ящикам так, чтобы в первом ящике оказалось 2 шара, во втором – 3, в третьем – 3 и в четвёртом снова два?

Показать решение

Для числа сочетаний справедливы некоторые тождества, в частности:

Пример 3

Докажите тождество

Показать решение

Запишем в «нулевой» строке число В первой строке напишем значения чисел и каждое из которых тоже равно 1, так, чтобы значение оказалось над промежутком между этими двумя числами. Во второй строке запишем числа и тоже равные 1, а между ними – число Обратим внимание, что число равно сумме двух чисел, стоящих над ним: Продолжим построение, записывая в n строке числа от до включительно.

1
Рисунок 4.2.3.1.
Треугольник Паскаля

Полученный числовой треугольник называется треугольником Паскаля. Согласно свойству любое число в этом треугольнике равно сумме двух чисел, расположенных над ним в предыдущей строке.

При помощи треугольника Паскаля удобно доказывать различные комбинаторные тождества.

Пример 4

Доказать, что

Показать решение

На языке множеств утверждение, доказанное в задаче, выглядит по-другому.

Число подмножеств множества из n элементов равно 2n.

Еще один интересный факт, связанный с треугольником Паскаля, мы приведём здесь без доказательства:

Бином Ньютона

Приведённое тождество называется биномом Ньютона.

 

Как и в случае с размещениями, существует понятие числа сочетаний с повторениями. Рассмотрим его на следующем примере.

Пример 5

В палитре художника 8 различных красок. Художник берет кистью наугад любую из красок и ставит цветное пятно на ватмане. Затем берет следующую кисть, окунает её в любую из красок и делает второе пятно по соседству. Сколько различных комбинаций существует для шести пятен? Порядок пятен на ватмане не важен.

2
Показать решение

Вообще, можно сформулировать следующее правило.

 

Если из множества, содержащего n элементов, выбирается поочередно m элементов, причём выбранный элемент каждый раз возвращается обратно, то количество способов произвести неупорядоченную выборку – число сочетаний с повторениями – составляет


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Товары для школы   Подготовка к ЕГЭ онлайн

    Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География язык, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.
ПоискОткрытый Колледж
Купить экскаватор эо-2621
Продажа экскаваторов-погрузчиков ЭО. Купить экскаватор ЭО-2621 по сниженной цене. Гарантия. Сервис.
www.traktor-velikan.ru
Билеты на концерт тараканов
Приобретайте билеты на концерт Тараканов в кассах и на сайте билетного агенства Пономиналу.ру
ponominalu.ru