Рассмотрим некоторое множество E, которое будем называть основным, и не будем интересоваться его природой. Будем считать, что все множества, которые рассматриваются в данном пункте, являются подмножествами основного множества.
Объединением двух множеств A и B называется множество AB, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.
Пересечением множеств A и B называется множество AB, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству A, так и множеству B.
Аналогично определяется пересечение и объединение любого числа множеств.
Для удобства множества изображают в виде кругов, а основное множество в виде прямоугольника, их содержащего. Такие рисунки называются диаграммами Эйлера–Венна.
Модель 4.1.
Множества на плоскости
Пример 1
Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти и
Операции объединения и пересечения множеств обладают следующими свойствами.
Если
то
Например,
Следует заметить, что мощность объединения и пересечения двух конечных множеств связаны следующим соотношением:
(здесь мощность множества A обозначена как |A|).
Для бесконечных множеств это равенство неверно. Если хотя бы одно из множеств A и B бесконечно, то мощность объединения
Пусть теперь A и B − некоторые множества в основном множестве E.
Разностью множеств A и B называется множество A \ B, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B. Разность между основным множеством E и множеством A называется дополнением множества A в E и обозначается
Кратко это можно записать так:
Очевидно, что
для любого
Пример 3
Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} и B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19}. Найти A \ B и B \ A.